数学思维：开启智慧之门的钥匙
更新时间：2025-02-01 23:38 浏览量：2
数学，作为人类智慧的璀璨结晶，在人类历史的长河与社会生活的广阔舞台上，始终扮演着不可或缺的角色。它不仅是学习和研究现代科学技术不可或缺的基本工具，更是几乎能够渗透并应用于现实世界的每一个角落。本文节选自《基础数学讲义》，其主旨在于引领读者将正规化的数学学习和研究方法内化为潜在的思维模式，深刻理解数学的基本理念与思维流程，将数学直觉磨砺成锐利的工具，助力我们在生活与工作中游刃有余。
数学并非源自计算机的无端运算，而是一项深刻体现人类智慧的活动。它依赖于人脑历经千年积淀的经验，自然也伴随着人脑的所有优势与局限。这种思维过程，既可以视为灵感与奇迹的源泉，也可能被视为亟待修正的认知偏差，然而，我们无从选择，只能拥抱并探索其奥秘。
人类确实具备逻辑思考的能力，但关键在于如何透彻理解问题。一方面，我们需要洞悉形式数学证明每一步背后的严谨逻辑。尽管我们能够逐一检验每一步的正确性，却时常难以洞察各步骤之间的内在联系，无法洞悉证明的整体思路，更无法领悟他人如何构思出这一证明。另一方面，理解还需从全局视角出发——仅需一瞥，便能洞悉整个论证的脉络。这就要求我们将个人见解融入数学的宏观框架之中，再将其与其他领域的类似思想相互勾连。这种全面而深刻的掌握，不仅能够使我们更好地理解数学的整体架构，更能推动我们持续进步——当前阶段的正确认知，很可能为未来的学习奠定坚实的基础。
反之，如果我们仅仅局限于“解答”数学题，而忽视数学知识之间的内在联系，便无法灵活运用这些知识。全局思维的价值，远不止于欣赏数学之美或启迪学生智慧。在人类频繁犯错的现实中，我们可能会误判事实、做出错误决策或产生理解偏差。在分步证明中，我们或许难以察觉上一步无法推导出下一步的逻辑断裂。但从全局视角审视，如果一个错误推导出了与大方向相悖的结论，这种悖论便能如警钟般提醒我们错误的存在。
例如，假设100个十位数的和是137568304452。我们可能会在计算中出现错误，得出137568804452的结果，或者在抄写结果时误写为1337568804452。这两个错误可能都难以被轻易发现。要想发现第一个错误，或许需要一步步重新计算，而第二个错误却能通过算术的基本规律轻松识别。因为9999999999乘以100等于999999999900，所以100个十位数的和最多只能有12位，而我们写下的却是一个十三位数。
无论是计算还是其他人类思维过程，将全局理解与分步理解相结合，都是最有助于我们发现错误的策略。学生需要同时掌握这两种思维方式，才能真正理解一门学科，并有效地将所学知识付诸实践。分步理解相对简单，我们只需将每一步单独拆解出来，通过大量练习直至充分掌握。而全局理解则复杂得多，它要求我们从纷繁复杂的独立信息中抽丝剥茧，找到潜藏的逻辑规律。
即便我们找到了一个适用于当前情境的规律，也可能遭遇与之相悖的新信息。有时新信息会出现错误，但过去的经验也往往无法直接套用于新的情境。尤其是前所未有的新信息，更可能超脱于既有的全面理解之外，迫使我们更新旧有的认知框架。
01. 概念的形成
在深入探讨具体数学领域之前，我们有必要先审视一下人类学习新思想的历程。因为当我们面对基础性问题，需要重新审视那些自以为熟知的思想时，理解这一过程显得尤为重要。每当我们意识到自己对某些思想的理解并不全面，或是发现尚未探索的基本问题时，心中难免会感到一丝不安。然而，这种感受实属正常，因为绝大多数人在学习过程中都曾有过类似的经历。
数学家在初降人世时，同样稚嫩无比。这句话虽然听起来有些空洞，但却深刻地揭示了一个事实——即便是最杰出的数学家，也曾一步步地学习和构建数学概念。当数学家遭遇新问题或新概念时，他们会在脑海中反复思量，试图回忆起过去是否遇到过类似的问题。这种数学探索与创造的过程，往往并不遵循严格的逻辑。只有当思绪的碎片逐渐拼凑在一起，数学家才能感受到问题或概念的清晰脉络。随后，他们便能形成明确的定义，进行深入的推导，并最终将必要的论据打磨成一个简洁而精妙的证明。
以“颜色”的概念为例，我们可以进行一个科学类比。颜色的科学定义或许可以表述为“单色光线照射眼睛时产生的感觉”。然而，这样的定义显然不适合用来教孩子（“安杰拉，告诉我你的眼睛在接收到这个棒棒糖发出的单色光后产生了什么感觉……”）。相反，我们应该先向孩子们展示蓝色的球、蓝色的门、蓝色的椅子等物体，同时告诉他们“蓝色”这个词。通过这种方式，孩子们可以逐渐理解“蓝色”的概念。当他们能够识别出未见过的物品是“蓝色”时，说明他们已经在脑海中形成了“颜色”的初步认知。随后，再教授“深蓝”和“浅蓝”的概念就会变得更加容易。
通过不断地重复这一过程，孩子们可以逐渐建立起不同颜色的概念。而当我们向他们提问“那扇门是蓝色的，这个盒子是红色的，那朵毛茛是什么颜色的呢？”如果他们能够回答“黄色”，那就意味着他们的脑海中已经形成了完整的“颜色”概念。
随着孩子们的成长和学习，他们可能会接触到光线透过棱镜形成的光谱，进而学习光线的波长。在经过足够的训练后，他们或许能够成为一名成熟的科学家，并精准地说出波长对应的颜色。
然而，即便他们对“颜色”有了精确的理解，这并不意味着他们能够向孩子解释“蓝色”是什么。在概念形成的初期阶段，用波长去清晰地定义“蓝色”是毫无意义的。数学概念的形成也是如此。读者的脑海中已经积累了大量的数学概念，如解二次方程、画图像、等比数列求和等。我们的目标是在这些数学理解的基础上，进一步拓展和完善这些概念。我们将通过读者生活中的实例来介绍新概念，并随着这些概念的建立，不断丰富读者的经验，以便我们能够在此基础上取得更大的进步。
尽管我们可以从空集出发，利用公理化的方法构建整个数学体系，但对于尚未理解这一体系的人来说，这无疑是一部天书。专业人士在看到逻辑构造后，可能会迅速识别出“0”、“1”、“2”等整数，并理解“加法”等运算。但对于外行人来说，这些符号和构造可能就像鬼画符一样难以理解。因此，在定义新概念时，我们需要用足够的例子来解释它是什么、能用来做什么。当然，专业人士通常能够轻松地给出例子，但对于初学者来说，这些例子却是理解新概念的关键。
02. 基模
数学概念是一组系统的认知结构，它们源于已经建立的概念和经验，并以某种方式相互关联。心理学家将这种系统的认知结构称为“基模”。例如，孩子在学习数数时（“一二三四五，上山打老虎”），会逐渐理解“两块糖”、“三条狗”等概念，并最终意识到两块糖、两只羊、两头牛等事物存在一个共同点——即“2”。这时，孩子脑海中就形成了“2”这一概念的基模。
这一基模的形成源于孩子自身的经验：他的两只手、两只脚、上周在田地里看到的两只羊、学过的顺口溜等。你会惊讶地发现，大脑需要将许多信息整合在一起才能形成概念或基模。
随着学习的深入，孩子们会开始接触简单的算术（“假设你有五个苹果，给了别人两个，现在还剩几个”），并逐渐建立起能够回答“5减2等于多少”这类问题的基模。算术具有精确的性质：如果3加2等于5，那么5减2就等于3。孩子们在理解算术的过程中会发现这些性质，并利用已知的事实去推导新的事实。
例如，当他们知道8加2等于10时，就可以通过8加2加3来理解8加5的结果，从而得出10加3等于13的结论。通过这种方式，孩子们逐渐建立了整数算术这一内容丰富的基模。
然而，当孩子们被问到“5减6等于多少”时，他们可能会感到困惑或尴尬地笑出来。这是因为这个问题不符合他们脑海中关于减法的基模——如果只有5个苹果，怎么可能给别人6个呢？但在学习负数之后，他们就会明白这个问题的答案是“-1”。这种变化源于他们原有的“减法”基模为了适应新概念而发生的改变。
当孩子们看到温度计刻度或了解银行业务后，他们对“减法”概念的理解就会发生变化。虽然在这个过程中可能会感到困惑（比如“-1个苹果是什么样的？”），但这些困惑最终都会得到满意的解释（因为苹果数量和温度计读数存在本质区别）。
学习过程中的大部分时间都是用来让现有的基模变得更复杂，以便能够应对新概念。正如我们之前所说，这个过程确实会伴随着困惑。然而，不幸的是，人不可能毫无困惑地学习。据说2000多年前，欧几里得就对托勒密一世说过：“几何学习没有捷径。”除了意识到自己的困惑外，了解困惑的成因也很重要。在阅读本书的过程中，读者可能会多次感到困惑。这种困惑有时源于作者的疏忽，但更多时候可能是因为读者需要修正自己的认知才能理解更一般的情形。
这是一种建设性的困惑，它标志着读者的进步。读者应该欣然接受这种困惑——当然，如果困扰太久就需要寻求帮助了。同样地，当困惑得到解决后，一种理解透彻的喜悦感会油然而生，就像完成了一幅拼图一样。数学确实是一种挑战，但正是这种挑战带来的绝对和谐感让我们在审美的道路上不断前行。
深化理解：数学概念的形成与基模的构建
在数学的世界里，每一个概念的形成都如同一颗种子的萌发，需要经历时间的洗礼和智慧的浇灌。从最初的懵懂无知到后来的驾轻就熟，每一个数学学习者都在这个过程中逐渐构建起自己的知识体系和思维模式。而数学概念的形成与基模的构建，正是这一过程中的关键环节。
一、数学概念的形成：从模糊到清晰
数学概念的形成是一个复杂而微妙的过程。它往往始于我们对某个数学现象的直观感受或经验积累，然后通过逻辑推理和抽象概括，最终形成一个清晰、明确、具有普遍性的定义。
在这个过程中，我们需要不断地进行思考和探索。比如，当我们初次接触“分数”这个概念时，可能会感到困惑和不解。因为分数与整数不同，它表示的是部分与整体的关系。但随着时间的推移和学习的深入，我们会逐渐理解分数的本质和运算规则，从而能够熟练地运用分数来解决实际问题。
数学概念的形成还离不开对已有知识的整合和拓展。在学习新的数学概念时，我们通常会借助已有的知识框架和思维模式来理解和解释新概念。比如，在学习“函数”这个概念时，我们可以借助“映射”的思想来理解函数的本质和性质。通过这种整合和拓展，我们能够更加深入地理解数学概念，并将其应用到更广泛的领域中。
二、基模的构建：从简单到复杂
基模是心理学中的一个重要概念，它指的是人们在对某一类事物进行认知时，所形成的一种系统性的认知结构。在数学学习中，基模的构建同样至关重要。它能够帮助我们更好地理解和记忆数学概念，提高解题能力和学习效率。
基模的构建通常始于对简单概念的学习和掌握。比如，在学习“整数”这个概念时，我们会先了解整数的定义、性质和运算规则。然后，通过大量的练习和实践，我们会在脑海中形成关于整数的基模。这个基模包括整数的表示方法、运算规律以及在实际问题中的应用等方面。
随着学习的深入，我们会逐渐接触到更复杂的数学概念。这时，我们就需要在已有的基模基础上进行拓展和深化。比如，在学习“有理数”这个概念时，我们可以将整数作为有理数的一个特例来理解和记忆。通过这种方式，我们不仅能够更加深入地理解有理数的本质和性质，还能够将整数和有理数这两个概念紧密地联系在一起，形成一个更加完整和系统的知识体系。
三、数学概念与基模的相互作用
数学概念和基模之间存在着密切的相互作用关系。一方面，数学概念的形成离不开基模的支持和辅助。基模能够为我们提供一种系统性的认知框架，帮助我们更好地理解和记忆数学概念。另一方面，基模的构建也需要数学概念的支持和丰富。数学概念是基模的核心和基础，只有掌握了数学概念，我们才能构建起具有普遍性和稳定性的基模。
在数学学习中，我们需要不断地运用数学概念和基模来解决问题。通过不断地实践和应用，我们能够加深对数学概念和基模的理解和掌握程度。同时，我们还能够通过反思和总结来不断优化自己的思维模式和知识体系。
四、数学思维的培养与提升
数学思维是数学学习的核心和灵魂。它指的是我们在解决数学问题时所表现出的思维方式和思维策略。良好的数学思维能够帮助我们更加高效地解决问题，提高学习效率和学习成绩。
要培养和提升数学思维，我们需要注重以下几个方面：
培养抽象思维能力：数学是一门抽象性很强的学科。要学好数学，我们需要具备较强的抽象思维能力。这要求我们在学习中要善于抓住数学问题的本质和规律，忽略次要因素和干扰因素，从而更加准确地理解和解决问题。培养逻辑思维能力：数学是一门逻辑性很强的学科。在数学学习中，我们需要注重培养自己的逻辑思维能力。这要求我们在解题时要严格按照逻辑顺序进行推理和计算，避免出现逻辑错误和计算错误。培养创新思维能力：数学问题的解决往往需要我们进行创新和探索。因此，我们需要注重培养自己的创新思维能力。这要求我们在面对数学问题时，不拘泥于传统方法和常规思路，敢于尝试新的解题策略和角度，能够从多个维度深入分析问题，寻找最优解或更简洁的解法。通过参与数学竞赛、解决开放性问题或参与数学研究小组等活动，可以有效激发和培养这种创新思维，鼓励自己跳出舒适区，勇于挑战未知。加强问题解决策略的训练：数学思维不仅仅体现在解题速度上，更重要的是解决问题的策略和方法。学会将复杂问题分解为简单子问题，运用模型化、图形化等策略来辅助思考，以及灵活应用各种数学原理和公式，都是提升数学思维的关键。通过大量练习不同类型的题目，尤其是那些需要综合运用多个知识点的问题，可以显著提升问题解决的能力。
注重数学语言的掌握：数学有其独特的语言体系，包括符号、公式、图表等。熟练掌握这些数学语言，能够更准确地表达数学思想，促进思维的清晰化和精确化。因此，在学习过程中，要注重对数学术语和符号的理解与记忆，通过读写数学证明和解题过程，加强数学语言的运用能力。
培养持之以恒的学习态度：数学思维的培养和提升是一个长期且持续的过程，需要耐心和毅力。面对学习中的困难和挑战，保持积极的心态，坚持不懈地探索和实践，是通往成功的关键。定期复习所学内容，总结解题经验和教训，不断调整和优化学习方法，也是提升数学思维不可或缺的一环。
综上所述，通过有针对性地培养抽象思维、逻辑思维、创新思维，加强问题解决策略的训练，掌握数学语言，并保持持之以恒的学习态度，我们可以有效地培养和提升自己的数学思维，为数学学习乃至未来的学术和职业生涯打下坚实的基础。
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